воскресенье, 24 июля 2011 г.

Загадка Рамануджана


Рамануджан любил говорить, что формулы ему внушает во сне богиня Намаккаль. Интересно отметить, что действительно он часто, вставая по утрам с кровати, тут же записывал готовые формулы. 
                                              Сешу Айар и Рамачандра Рао

Сриниваза Рамануджан Айенгор родился 22 декабря 1887 г. на юге Индии в селении Эрод. Его детство в основном протекало в маленьком городке Кумбаконам (в 260 км от Мадраса), где его отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Рамануджан принадлежал к касте браминов, но богатство уже давно не было уделом его родственников. Его родители, а мать особенно, были глубоко религиозны. Рамануджан получил воспитание в традициях касты. Детство, проведенное в городе, где каждый камень связан с древней религией, в окружении людей, постоянно ощущающих свою принадлежность к высшей касте, сыграло большую роль в становлении Рамануджана. С 5 лет Рамануджан в школе, к 10 годам он заканчивает начальную школу. Он начинает проявлять незаурядные способности, получает стипендию, обеспечивающую обучение в средней школе за половинную плату. В 14 лет студент из Мадраса дает ему двухтомное руководство по тригонометрии Лони. Вскоре Рамануджан изучил тригонометрию, и студент имел возможность пользоваться его консультацией в решении задач. К этому периоду относятся первые рассказы и легенды. Утверждается, что он сам открыл «формулу Эйлера о синусе и косинусе» и был очень расстроен, найдя эту формулу во втором томе Лони. «Маленький брамин» полагает, что в математике, как и в других науках, следует искать присущую ей «высшую истину», расспрашивает учителей. Старшие дают маловразумительные ссылки на теорему Пифагора, а то и на вычисления с процентами. 
Подробнее познакомиться с биографией удивительного математика и его формулами можно ЗДЕСЬ







четверг, 21 июля 2011 г.

Бином Ньютона и треугольник Паскаля


Блез Паскаль (1623— 1662)
Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена  (а+b)n  в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» (а+b)2 и «куба суммы» (а+b)3, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона: 

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:


где k - порядковый номер слагаемого в многочлене.
Напомним, что факториал — произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть 1х2хЗх...хn — обозначается n!, например, 4!=1x2x3x4=24. Запомнить формулу действительно непросто. Но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют an и bn с коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена (a+b),причём сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 сумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах.
Видимо, для того чтобы облегчить труд школяров и студентов, великий французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов — «треугольник Паскаля».
Строится он следующим образом. В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению (a+b)0, поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: (a+b)1=a+b. Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:a2+2ab+b2.

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.
Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:
(a + b)6=a6+6a5b + 15a4b2+20a3b3 + 15a2b4+6ab5+b6.

Всё очень несложно и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще.

Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

среда, 20 июля 2011 г.

Математическую константу положили на музыку

Американский музыкант положил на музыку математическую константу под названием Тау. О необычном подходе к числам пишет New Scientist.
Число Тау в два раза больше числа Пи и приближенно равно 6,283185. Майкл Блейк (Michael Blake) перекладывал Тау на музыку следующим образом: он присвоил нотам от до одной октавы до ноты до следующей октавы номера от 1 до 8. Затем Блейк взял запись числа Тау с точностью до 126 знака после запятой и проиграл ее в соответствии с выбранной кодировкой нот. Далее музыкант аранжировал получившуюся мелодию. Итог его трудов можно послушать тут.
Ранее Блейк положил на музыку само число Пи, однако Тау звучит более гармонично. Послушать мелодию Пи можно здесь. (Источник)

Сама идея сопоставлять цифрам ноты не нова, она упоминается в романе бр. Вайнеров "Визит к Минотавру". 

вторник, 19 июля 2011 г.

Геометрия гармонии


Предложен совершенно новый подход к пониманию музыкальной гармонии, позволяющий описать ее в строгих терминах геометрии.

На рисунке изображена геометрическая интерпретация «семейства» аккордов из четырех нот: чем ближе составляющие их ноты друг к другу по тону, тем более «холодным» цветом они окрашены. Красная сфера вверху соответствует уменьшенному септаккорду, весьма популярному у классических композиторов XIX века. Поблизости от него располагаются аккорды, наиболее часто встречающиеся в западной музыке.

пятница, 15 июля 2011 г.

Пазлы на уроках

preview
Математик
Сервис Jigsaw Planet позволяет создавать пазлы. Данные головоломки способствуют развитию пространственного представления, поэтому кому, как не математикам их использовать?

Их можно использовать на нетрадиционных уроках, на спаренных уроках, во внеклассной работе. Например, пазл, который представлен на страничке, можно использовать во внеклассной работе, посвященной истории математики. Надо составить картинку и ответить, кто на ней изображен. В зависимости от того, знакомы уже ученики с ученым, или только начинают знакомиться, дальше рассказывают о нем либо кто-то из учеников, либо учитель. Это одна форма применения сервиса.

Кроме того можно ограничить время собирания пазла и выявить победителя. Такие соревнования можно проводить на заключительных уроках темы или четверти. Они будут способствовать более заинтересованному самостоятельному собиранию пазлов учащимися, а значит и их всестороннему развитию.

Дети думают руками

Метод «махания руками у доски», оказывается, действительно помогает решать математические задачи. Как показали психологи, в жестах детей часто скрываются подходы к задаче, которые словами ребёнок не способен выразить. И жестикуляция помогает осваивать правильные методы решения арифметических задач. 

Известно, что человек может выполнить задание, будучи неспособным сформулировать, как он этого добился. Например, в одном из исследований взрослых просили «извлечь» пять шаров из пяти коробок на экране монитора, но при этом не сообщали, что самый правый шар был всегда подвижен, а остальные можно было передвигать, только если шар справа был в коробке, а остальные шары справа – вне коробок. Все справились с головоломкой, но лишь немногие смогли объяснить, как им это удалось.

четверг, 14 июля 2011 г.

Узоры на растущих раковинах моллюсков

"Вы задумывались, сколько форм ракушек существует в природе? А сколько вариантов их раскраски? Удивительно, но оказалось, что всё это разнообразие описывается одним единственным уравнением с девятью переменными. Изящное открытие, совершённое на стыке математики, биологии и (сюрприз) нейрофизиологии, поможет учёным лучше понять, как работает... наш мозг, и даже — как в нём хранятся воспоминания".  
Так начинается статья "Воспоминания моллюсков выводят узоры на растущих раковинах", из которой можно узнать, какая связь существует между рисунком на морских раковинах, нашей памятью и обманом зрения. И еще раз убедится в том, что все в мире живет по законам математики.
В каждой паре моллюск слева – настоящий, справа – компьютерный.
Сходство поразительно. Значит, учёным удалось уловить за хвост
математическую гармонию раковин (фото Alistair Boettiger/UC Berkeley)

среда, 13 июля 2011 г.

Кроссворды для интегрированных уроков

Задания на разгадывание и составление кроссвордов на уроках и после них предлагаются для активизации познавательной деятельности учащихся, развития их творческого мышления. Кроссворды, как известно, составляются из слов. Загадывать слова можно формулами, рисунками, ребусами, фрагментами текста, географическими картами и так далее. Здесь можно  посмотреть примеры, когда слова кроссворда загаданы с помощью задач по физике и математике. Подобные кроссворды очень кстати придутся на интегрированных уроках естественно-математического цикла. 

понедельник, 11 июля 2011 г.

Проценты в классической литературе

«Ростовщики». 
Художник Квентин Массейс (1466–1530).
Знаете ли вы, что многие известные литературные герои были неплохими финансистами? Одним персонажам приходилось самим производить денежные расчёты, связанные с покупкой или продажей товара, другим — с дележом прибыли и т.п. Но особенно часто они почему-то решали задачи «на проценты», которые ничуть не утратили своей актуальности. 

Этими словами начинается статья Н. Карпушиной "Проценты простые и сложные. Уроки арифметики в классической литературе", в которой автор рассматривает связанные с процентами ситуации в романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлёвы», новелле Оноре де Бальзака «Гобсек» и романе Ф. М. Достоевского «Преступление и наказание».

суббота, 9 июля 2011 г.

Вот такая математика

Все люди братья. Вячеслав Козлов

Из цикла "Так устроен мир"

Сухая старуха математика очень упряма. Иногда она настойчиво пытается внушить нам совершенно абсурдные вещи. Вот на днях она заявила мне, что 960 лет назад все люди, населяющие Землю, были моими предками.
– Как такое может быть? – удивился я.
– Да очень просто – ответила старая. – Сколько у тебя было родителей?
– Два.
– А дедов и бабок?
– Четыре.
– Соответственно прадедов – восемь. И так далее каждый раз умножаем на два.
Если поколение сменяется примерно через тридцать лет, то ровно 960 лет назад у меня было 4 294 967 296 предков. Больше четырех миллиардов! Тогда и народу-то столько не было на планете. А если забраться еще в прошлое? А ведь меньше не может быть. У каждого человека должно быть как минимум два родителя – папа и мама, а у каждого родителя – тоже два родителя. Выходит, если нас не выращивали в пробирках инопланетяне, то… все люди – братья!

Другие произведения Вячеслава Козлова можно найти не его персональном сайте http://vv-kozlov.narod.ru/

пятница, 8 июля 2011 г.

Мозаика слов на уроке


ImageChef.com
Данную мозаику хорошо использовать на уроках повторения. Надо проанализировать то, что здесь написано и сказать, о чем идет речь и какие они еще бывают. Это задание способствует систематизации знаний, закреплению навыка классификации объектов. При работе с мозаикой у ребят будут развиваться внимательность наблюдательность.

Мозаику можно модифицировать, изменяя шрифт, цвета фона и шрифта, перемешивая слова. Поэтому можно не бояться получить однообразные ресурсы для учебной деятельности.

Можно также окрашивать отдельные слова в другой цвет на свое усмотрение. Это также можно использовать, если необходимо заострить внимание на каком-либо понятии.

четверг, 7 июля 2011 г.

Поэзия трёхмерного пространства

Фотоколлаж: Ирина Рудская/Великая Эпоха
Совпадение случайностей?

Великий астроном и математик, незаурядная личность Омар Хайям, живший в XI-XII вв. в Персии, был одновременно и скандальным поэтом. Хотя можно сказать наоборот: известный поэт Гияс ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим Хайям Нишапури, проще Омар Хайям, был еще и математиком, и астрономом.

Михаил Юрьевич Лермонтов, будучи большим любителем математических задач и головоломок, всегда возил с собой учебник математики, из которого, очевидно, черпал вдохновения для своих стихов. По крайней мере, сия наука позволяла великому поэту глубже понимать жизнь. Александр Сергеевич Пушкин математику не любил, однако отдавал ей должное: «В математике есть своя красота, как в поэзии», – писал великий поэт.

среда, 6 июля 2011 г.

История кроссворда

Кроссворд - это задача-головоломка, заключающаяся в заполнении буквами перекрещивающихся рядов клеточек так, чтобы по горизонталям и вертикалям получились заданные по значениям слова. В переводе с английского языка - cross-word означает пересечение слов. 
Разгадывание кроссвордов - одно из интереснейших времяпрепровождений. Его история уходит в глубь веков, но кроссворд в современном понимании появился относительно недавно, хотя доподлинно дата неизвестна.
Существует три версии создания кроссворда.

вторник, 5 июля 2011 г.

Облако слов на уроках


Wordle: сложение рацилнальных чиселПравила, формулируемые в учебниках, не всегда запоминаются детьми. Часто бывают случаи, когда правило ребенок запомнил, а пользоваться им не умеет. Поэтому я на уроках работаю над тем, чтобы ребенок понимал, какие действия и почему он делает, а также над формулировкой правил, помогающих ему запомнить, что и когда надо делать. Здесь представлены слова, которые использовались при формулировке таких правил на сложение рациональных чисел. Пользуясь этими словами, надо сформулировать эти правила. Такое задание способствует развитию речи учащихся и осознанному запоминанию правила.

понедельник, 4 июля 2011 г.

Вот такая математика

Зайдите, зайдите ко мне! Это ваше заявление на отпуск? 
- Да. 
- У вас, что совсем нет никакой совести? Вы понятия не имеете, как мало вы вообще работаете! Сейчас я вам это продемонстрирую. Считайте вместе со мной. Как известно, в году 365 дней. Каждые сутки вы спите по 8 часов, это в сумме составляет 122 дня, остается еще 243 дня. 
Ежедневно вы отдыхаете 8 часов, это 122 дня, остается 121 день. В году 52 воскресенья, в эти дни вы, конечно же не работаете, как и все люди. Сколько осталось? Всего 69 дней. Вы следите за мной, считаете? По субботам вы работаете только первую половину дня, вторая свободна -это еще 52 половинки или 26 полных дней. Остались 43 дня. Считаем дальше. Ежедневно вы имеете 2 часа перерыв, всего получается 30 дней. Остается еще 13 дней. В году всего 12 праздничных дней. Сколько же осталось?! 
- ::?! 
- Вот я говорю и пишу на бумаге - 1 день!!! И это 1 января, а в этот день никто не работает! И вы еще просите отпуск?!!

Почему нет письменных источников открытий Пифагора?

В докладе В. Арнольда на Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» в Дубне 21 сентября 2000 года "Нужна ли в школе математика?" я обнаружила ответ на этот вопрос. 
Владимир Арнольд сообщает, что узнал очень недавно о великих открытиях крупнейшего математика Египта, который был у фараона главным землемером и после смерти объявлен богом и назывался Тот. У греков потом его теории стали распространяться под именем Гермес Трисмегист. В средние века была книга «Изумрудная скрижаль», которая ежегодно издавалась по несколько раз.

воскресенье, 3 июля 2011 г.

Арабская средневековая математика и поэзия


Математика – точная, абстрактная и строгая наука. Некоторые ошибочно думают - говорила великий русский математик-женщина С. Ковалевская, что математика - это сухая наука. Они смешивают математику с арифметикой, в которой проводятся вычисления, порой трудные и скучные, с числами. Но для того чтобы быть настоящим математиком, добавила С. Ковалевская, нужно быть поэтом в душе. 
Поэтами были многие восточные ученые-энциклопедисты средневековья. Достаточно упомянуть лишь таких крупных мусульманских ученых, как Ибн Сина (Авиценна) (X-XI в.), аль-Хайям (XI в.), аль-Беруни (XII в.), Ибн аль-Ясмин (XII в.), Ибн аль-Хаим (XV в.) и Ибн Гази (XV в.). Они сделали много в науке вообще и в математике особенно. К тому же они были специалистами мирового масштаба и в других областях знания - медицине, физике, философии, богословии, арабском языке, астрономии, географии, истории и др. Но здесь хотелось бы подчеркнуть их отношение как ученых-естественников к литературе вообще и поэзии в частности.

суббота, 2 июля 2011 г.

Рособрнадзор прокомментировал критику ЕГЭ

Викторина "Великие математики"

Предлагаю проверить свои знания по истории математики, ответив на вопросы викторины, созданной с помощью документов Google. Ответы почти на все вопросы можно найти на страницах  блога.

Викторина "Великие математики".

Оценить правильность своих ответов можно по ссылке "Ответы на вопросы викторины".

Викторина в учебной деятельности

Викторина — это особый вид игры, который заключается в стремлении дать правильный ответ на устные или даже письменные вопросы из разных областей знания. 

Значение викторины в воспитательной работе с учащимися среднего возраста велико. Викторины можно использовать в учебной деятельности, на уроках по различным темам. Особенно важно использовать викторину в урочной деятельности, когда изучается сложный учебный материал, который требует глубокого и детального усвоения. Викторины могут быть тематическими или обзорными. 
Во внеклассной деятельности викторину необходимо использовать как средство стимулирования познавательного интереса учащихся, их интеллектуальных умений.

Разные виды викторин могут отличаться друг от друга правилами, тематикой, типом и сложностью вопросов, порядком и условиями определения победителей конкурса, а также видом и суммой вознаграждения за правильные ответы.

Правила проведения викторин:
1. Тема викторины должна быть актуальной.
2. Вопросы викторины должны быть четкими и понятными.
3. Вопросы должны учитывать возрастные особенности учащихся класса.
4. Поиск ответов на вопросы не должен быть сверх труден.
5. Учащиеся должны иметь право на подготовку своих вопросов к викторинам.
6. В викторинах всегда должны быть победители.

пятница, 1 июля 2011 г.

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Г. Лейбниц
365 лет назад в Лейпциге родился немецкий философ, математик, юрист, дипломат Готфрид Вильгельм фон Лейбниц.

Его способности проявились рано: в 8 лет он без помощи других изучил латынь, а еще через два года древнегреческий язык. Тяга к экзотическим языкам не исчезла и позже: познакомившись с элементами персидского языка и хинди, Лейбниц одним из первых высказал догадку об индоевропейской языковой общности, за которой скрываются какие-то переселения древнейших народов. 
Лейбниц умело сочетал дипломатическую работу с научной.

Лето - пора ... конкурсов!


Лето - пора отпуска. Но чем занять его? И как провести его, чтобы "не было мучительно больно" за время, не использованное во благо образовательному процессу и профессиональному образованию.

Вот как раз сейчас в сетевом образовательном сообществе "Открытый класс" проходит сетевой конкурс интегрированных уроков, внеурочных мероприятий "Искусство урока − урок-искусство" (использование современных социальных сервисов и средств сети Интернет на уроке и для урока). 
Там же приглашают к участию во всероссийском конкурсе педагогического мастерства по применению ЭОР в образовательном процессе "Формула будущего - 2011". Положение о конкурсе можно прочитать здесь

Как появилась викторина


Михаил Кольцов
Понятие «викторина» появилось в районе 20-х годов двадцатого века. Авторство принадлежит довольно известному в то время советскому журналисту и и публицисту Михаилу Кольцову. Слово было придумано для заголовка газетного раздела, который содержал в себе всякие вопросы на сообразительность, интересные шарады и ребусы. Причем подбирал материалы в этот раздел газеты один из ее сотрудников - Виктор. Вот от его то имени и появилось слово «викторина».
Уже потом нашлась вторая связь, со словом «победа». Потому что Виктор в переводе с латыни - это победитель. Этим словом в итоге начали обозначать все игры, которые предполагают какие-либо вопросы и ответы. 
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...