Наименьший общий знаменатель двух дробей

Наименьший общий знаменатель дробей - это наименьшее натуральное число, которое делится на знаменатель каждой дроби, т.е. кратно каждому знаменателю. Из определения понятно, что это наименьшее общее кратное обоих знаменателей.

Но часто найти наименьший общий знаменатель можно не прибегая к правилу нахождения наименьшего общего кратного (НОК).

Рассмотрим 1 случай.

Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) дробей  2/7 и 3/5. 

Легко увидеть, что знаменатели дробей взаимно простые числа. В этом случае  НОЗ равен произведению знаменателей, т.е. НОЗ = 35.

Рассмотрим 2 случай.

Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) дробей  2/7 и 9/35.

Проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. Да, 35 кратно 7. Значит, НОЗ = 35.

Рассмотрим 3 случай. 

Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) дробей  2/8 и 3/36.

Знаменатели 36 и 8 имеют общий множитель. Перебирая по порядку числа, кратные большему знаменателю, и проверяя их делимость на другой знаменатель, мы можем найти НОЗ.

36 * 2 = 72; 72 : 8 = 9. Значит, НОЗ = 72.

Можно, конечно, перебирать числа, кратные меньшему знаменателю, но на это уйдет больше времени и сил. Сравните: 8*2=16, 16<72 24="" 32="" 36.="" 36="" 40="" 48="" 56="" 64="" 72="" 8="" p="">

Во всех трех случаях мы находили НОЗ без использования правила нахождения НОК. Эти способы удобны, если числа не очень большие (обычно такие случаи нам и встречаются). В ином случае придется найти НОЗ как НОК знаменателей дробей.

Подытоживая выше сказанное, можно сформулировать алгоритм нахождения НОЗ.

1. Проверить, являются ли знаменатели взаимно простыми числами. Если являются, то НОЗ равен их произведению. Если не являются переходи к п. 2.

2. Проверить, является ли больший знаменатель кратным меньшему знаменателю. Если ответ "да", то НОЗ равен наибольшему знаменателю. Если ответ "нет", то переходи к п. 3.

3. Находим НОЗ подбором, последовательно умножая больший знаменатель на 2, 3, 4 и т.д.  и проверяя делимость полученного числа на меньший знаменатель. 

А теперь потренируйся в нахождении НОЗ.

Решето Эратосфена

Эратосфен - древнегреческий математик, живший в Александрии в III в. до н.э. Он был удивительно разносторонним человеком: занимался теорией чисел, измерял дугу меридиана между городами Александрией и Сиеной, изучал звёзды. И во всех этих областях достигал высоких результатов. Но навсегда его имя вошло в науку в связи с придуманным им методом нахождения простых чисел. 

Этот метод очень прост. Пусть надо найти все простые числа от 2 до 120. Для этого запишем их по порядку. Оставим число 2 (оно простое). Вычеркнем все остальные четные числа. Затем оставим первое уцелевшее число. Это 3. Оставим его и вычеркнем все остальные числа, кратные 3. Затем перейдем к следующему уцелевшему числу (это 5), оставим его и вычеркнем все числа, кратные 5. Повторим эти действия. В итоге невычеркнутыми окажутся простые числа. На рисунке ниже наглядно показано применение этого метода. 

Во времена Эратосфена писали на восковых табличках или на натянутом папирусе. Поэтому Эратосфен не зачеркивал числа, а выкалывал их. В результате табличка напоминала решето. С тех пор придуманный Эратосфеном метод отыскания простых чисел называют "решето Эратосфена".

О чём говорит обыкновенная дробь

Обыкновенные дроби могут с нами "разговаривать". И если вы научитесь их понимать, то изучение дробных чисел не доставит вам многих хлопот.

Так о чем же нам говорят дроби? Само название "дробь" подсказывает, что речь идет о дроблении, делении чего-либо на части.

Знаменатель показывает ("говорит"), на сколько частей разделили что-то целое (пирог, шоколадку, лист бумаги и многое другое). А числитель показывает ("говорит"), сколько таких частей взяли. 

Значит, дробь     говорит нам о том, что что-то целое разделили на 12 частей и потом взяли 5 таких частей.

Читая внимательно условие задач, мы можем узнать что же делили на части, так как после дроби всегда указывается части чего берутся.

Часто ошибки возникают потому, что путают числитель и знаменатель местами. Для того чтобы запомнить, что знаменатель — это нижняя часть дроби, выучите стихотворение:

Знамёна упали, знаменатель — внизу,

А числа сражались, числитель — вверху.

Элементы треугольника

Семиклассники, проверьте знание элементов треугольника. Для этого прочитайте все их признаки, обходя по часовой стрелке вопросы, начиная с верхнего левого угла. и заканчивая вопросом в центре. Обратите внимание на сходство и различие этих элементов. Это поможет вам лучше понять особенности элементов. А гуманитарии после проверки своего предположения могут для лучшего запоминания использовать шутливое стихотворение об этих элементах.