суббота, 5 января 2013 г.

Прелести формул



Еще о красоте математики пишет С. Добрынин.

К сожалению, математика устроена так, что нужно в ней разбираться хоть немного, чтобы понимать ее настоящую красоту (хотя когда ты раскрыл скобки в выражении и все вдруг сократилось - это отголосок той красоты, о которой речь). 

И все же давайте я расскажу маленькую историю про формулы. Только не бойтесь интегралов! 

Итак, вот (на картинке) последовательность определенных интегралов, где понятно как каждый следующий получается из предыдущего. Дальнейшие строятся по тому же принципу. 

Если их вычислить, то окажется вот что:

A=π/2
B=π/2
C=π/2
D=π/2
E=π/2
F=π/2
G=π/2

Что нам говорит интуиция о значении интеграла H? Думаете, снова пи пополам? 
А на самом деле,  H=467807924713440738696537864469π/935615849440640907310521750000, то есть чуть-чуть меньше, чем все остальные интегралы.

А дело все в том, что, если разобраться, каждый из интегралов представляет площадь пересечения двух областей X и Y. Первая из них в каждом интеграле одна и та же - X, а вторая на каждом шаге немного сокращается. Изначально X содержится в Y, и поэтому до какого-то момента площадь их пересечения это просто и есть площадь X, которая постоянна. Но на очередном шаге Y становится слишком маленькой, и общая площадь начинает уменьшаться. Вуаля! 

Вот здесь, по-моему, красота математики видна немного больше, чем в примере с раскрытием скобок. Часто бывает, что хотя наши ощущения и обманываются холодными формулами, мы способны увидеть суть происходящего и найти ему простое и совершенно наглядное объяснение. Математика постоянно подбрасывает неожиданные связи, сюрпризы из шоколадного яйца, и поэтому ей хочется заниматься еще и еще.

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...