Теорема Фалеса. Пропорциональные отрезки

Историческая справка

Теорема Фалеса применяется в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок.

Аргентинская музыкальная группа представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.

Игра "Компоненты действий"

Тест "Перпендикулярные прямые"

Перпендикулярные прямые

    Инструкция

• Выберите один из вариантов в каждом из 3 вопросов;
• Нажмите на кнопку "Показать результат";
• Скрипт не покажет результат, пока Вы не ответите на все вопросы;
• Загляните в окно рядом с номером задания. Если ответ правильный, то там (+). Если Вы ошиблись, там (-).
• За каждый правильный ответ начисляется 1 балл;
• Оценки: менее 1.5 баллов - НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО, от 1.5 но менее 2.25 - УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО, 2.25 и менее 3 - ХОРОШО, 3 - ОТЛИЧНО;
• Чтобы сбросить результат тестирования, нажать кнопку "Сбросить ответы";

1. Перпендикулярными называются прямые, которые
   не пересекаются
   пересекаются
   пересекаются под прямым углом
   
   
2. Для обозначения перпендикулярности используют знак
   две вертикальные черты
   Т перевернутая
   нет такого знака
   
   
3. На практике перпендикулярность стены земли определяют с помощью
   транспортира
   угольника
   отвеса
   
   

    

Игра "Площадь"

В этой игре надо создать необходимую область, используя квадраты и прямоугольники.

На уровне 2 требует построить фигуру с определенной площадью и периметром.

На уровнях 3 и 4 требуется рассчитать площадь.

На уровнях 5 и 6 требуется построить фигуру определенным количеством квадратов определённого цвета.

Магический квадрат Дюрера

Альбрехт Дюрер составил магический квадрат, изображённый на одной из самых совершенных его гравюр — «Меланхолии». Он сумел так расположить чи́сла от 1 до 16, что сумма 34 получается не только при их сложении по вертикали, горизонтали и диагонали, но и во всех четырёх четвертях, в центральном четырёхугольнике и даже при сложении чисел из четырёх угловых клеток. Сумма любой пары симметрично расположенных относительно центра квадрата чисел равна 17. Дюрер нашёл место в таблице и для года создания гравюры «Меланхолия» (1514).

Магический квадрат

Маги́ческий квадра́т - квадрат, разделенный на равное число n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми n² натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число. Доказано, что магический квадрат можно построить для любого n, начиная с n = 3.

Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. 

Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n². Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n² + 1.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. б. 

В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n² + 1)/2. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65. 

Игры на измерение углов

Игра "Кролик и углы"

В этой игре  вам нужно поставить кролика под заданным углом. Чем точнее вы построите этот угол, тем больше морковок получите.

Игра "Транспортир"

Онлайн игра для обучения измерению углов от 0 до 180° с помощью транспортира. Имеет три уровня:

1. Уровень 1: до 180 градусов по десять.
2. Уровень 2: до 180 градусов по пять.
3. Уровень 3: до 180 градусов по единице.

Игра "Сравнение дробей"

Решение задач на равенство треугольников

Загадки детской книги

Уже прошло 155 лет с того момента, как вышла в свет повесть "Алиса в стране чудес" Льюиса Кэрролла, которая вместе с последовавшей за ней повестью "Алиса в Зазеркалье" стали бессмертной классикой детской литературы.

В посте "Льюис Кэрролл" я уже предлагала познакомиться со статьей Н. Карпушиной "Перечитывая "Алису...", в которой она утверждает, что "В сказках об Алисе множество загадок и ни одной отгадки, ни одного прямого ответа. Только умело поставленные вопросы и грамотно разбросанные по тексту подсказки, да едва уловимые намёки" и предлагает решить задачи по мотивам книги.

Этот пример даёт повод задуматься: "А такие ли уж эти книги детские?" 

Человеческая психика весьма логарифмична

Оказывается, информацию о мире мы обрабатываем логарифмически. Причем речь не идет о людях с высшим математическим образованием. Напротив, логарифмическая обработка cигналов из внешнего мира была свойственна нашим предкам и до сих пор сохраняется в некоторых племенных и архаических обществах. А вот линейное мышление далеко не так эффективно.

Если взрослого человека, выросшего в развитой индустриальной стране, попросить назвать любую цифру между единицей и девяткой, он скорее всего назовет 5. И тем самым продемонстрирует пример линейного мышления. Но если тот же вопрос задать выходцу из традиционного, архаического общества, или ребенку, то в ответ вы с большой вероятностью услышите "3". Как ни странно, дети и выходцы из примитивных культур в данном случае демонстрируют более сложное, логарифмическое мышление: 3: 1 — это 3 в степени 0, а 9 — это 3 в степени 2. Следуя такой логике, 3 в степени 1 находится как раз между ними. 

Среднее арифметическое. Проценты

Координатная плоскость. Графики

Задачи на построение

В помощь для выполнения задач на построение с помощью циркуля и линейки без делений предлагаю видео, в которых показана практическая часть построения.

Параллельные прямые

Посмотрев видео, вы узнаете какие прямые называются параллельными ( а также отрезки и лучи), как можно построить параллельные прямые.

Осевая и центральная симметрии. Построение

Эти видео окажут несомненную помощь при овладении умением строить фигуры, симметричные данным.


Осевая симметрия

Центральная симметрия

Осевая и центральная симметрии

«Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна глазу? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе».

Л.Н.Толстой

Термин «симметрия» в переводе с греческого означает соразмерность, пропорциональность, гармония. Как предполагают, ввел в обиход данный термин Пифагор (VI в. до н. э.), обозначив им пространственную закономерность в расположении одинаковых фигур или их частей. Он же определил отклонение от симметрии как асимметрию. 

Деление на трёхзначное число

Деление на двузначное число (в записи частного есть нули)

Посмотрите внимательно оба ролика, объясняющих деление на двузначное число в тех случаях, когда в частном есть нули.
Обратите внимание на выполнение полной и краткой записи решения. При выполнении заданий из учебника можете использовать любую из них.

Решение задач с помощью уравнений

Для решения задач с помощью уравнения надо ввести переменную х и выразить через неё неизвестные в задаче величины.  Для того чтобы упростить процесс составления уравнения надо записывать краткое условие задачи, переводя условие задачи с естественного языка на математический. Такой процесс называется моделированием, а само уравнение - математической моделью задачи. 

Повторим способы записи условия задачи:

• краткая словесная запись;
• табличная запись;
• графическая запись (чертёж, рисунок, схема).

Рассмотрим пример.

Задача: На одной полке в 5 раз больше книг, чем на второй. После того как с первой полки переложили на вторую 12 книг, на полках книг стало поровну.Сколько книг было первоначально на каждой полке?

1) Запишем краткую словесную запись.

Пусть х - число книг на второй полке. Тогда на первой полке - 5х книг. На первой полке стало (5х - 12) книг, а на второй (х + 12). Так как их стало поровну, то составим уравнение:

5х - 12 = х + 12.

Решим его.
1. Перенесём известные в одну сторону, а неизвестные в другую.
5х - х = 12 + 12

2. Упростим обе части уравнения.
4х = 24

3. Разделим обе части уравнения на 4.
х = 6, т.е. на второй полке стояло 6 книг.

Найдём, сколько книг стояло но первой полке. 5х = 5 ∙ 6 = 30 книг.
Сделаем проверку: 30 - 12 = 18 книг стало на первой полке, на второй полке 6 + 12 = 18 книг. Книг на полках поровну. Задачу решили верно.

Ответ: 30 и 6 книг.

2) Запишем табличную запись.

	1 полка	2 полка
Было	5х	х
Стало	5х - 12	х + 12	поровну

Получим уравнение 5х - 12 = х + 12.

3) Сделаем графическую запись:

 И опять же получим уравнение 5х - 12 = х + 12.

А какую запись будете использовать вы?

Деление на двузначное число (цифра частного находится способом проб). Обобщение

Повторим, как можно разделить многозначное число на двузначное.
Пробную цифру подбираем по первой или последней цифре делителя. Посмотрите пример деления чисел и рассуждений при выполнении деления. 

Вставляем видео урок с РЭШ в блог

Читательница Петрова Елена Александровна попросила научить вставлять в блог видеоуроки с РЭШ. Почему это надо сделать, каждый решает для себя самостоятельно. Поэтому не буду перечислять причины, почему я пришла к такому решению, а просто расскажу, как я это делаю.

Хочу уточнить, что на сайте РЭШ есть два вида видеоконтента:

Пересечение и объединение множеств

Решение уравнений

Как решать простейшие уравнения, вы уже знаете (ну или должны знать). Повторить (выучить) их и/или проверить свои знания можно по с помощью флеш-карточек.

Теперь вы узнали другие правила решения уравнений, которые можно использовать и для сложных, и для простейших уравнений, которые можно сформулировать и так:

Деление десятичной дроби на целое число

Деление на двузначное число (цифра частного находится способом проб)

Письменное деление на двузначное число с остатком

Письменное деление на двузначное число

Посмотрите объяснение темы "Письменное деление на двузначное число" на видео.

Затем прочитайте в учебнике на стр. 57, как выполнено деление 492:82.

Сравните оба объяснения. Указать в тетради отличие и в чём оно нам помогает. Записать подробный алгоритм деления из видео в справочник, выполнить № 206.

Погрешность и точность приближений

Преобразование фигур. Свойства движения

Определение синуса, косинуса и тангенса любого угла от 0 до 180 градусов

Задание к просмотру видео. Найти ошибку в данном видео и прислать скриншот с выделенной ошибкой и объяснением на мою почту.

Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Сложение и умножение числовых неравенств

Умножение десятичных дробей

Задания:
1. Просмотреть внимательно объяснение темы по видео.

2. Проверь, как ты понял(а) тему, выполнив упражнение ниже.  Если сразу не удалось выполнить упражнение правильно, прочитай параграф 34 учебника, выясни в чём была твоя ошибка и выполни упражнение ещё раз.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Складывают и вычитают десятичные дроби так же, как и натуральные числа, поразрядно. Для этого их записывают столбиком так, чтобы каждый разряд второго слагаемого (или вычитаемого) находился под соответствующим разрядом первого числа. При такой записи запятые обоих чисел будут записаны друг под другом. Кратко это правило записи десятичных дробей в столбик можно сформулировать "запятая под запятой". А само правило сложения десятичных дробей можно разбить на четыре шага.

Рассмотрим пример сложения чисел 39,705 и 0,41.

Тест "Внешний угол треугольника. Равенство прямоугольных треугольников"

Ребята выполните тест. Это поможет вам подготовиться к контрольной работе.