Решение квадратных уравнений

Для самоконтроля решения квадратных уравнений по формуле предлагаю использовать виджет ниже. Решите сначала уравнение самостоятельно, а затем введите коэффициенты уравнения в форму уравнения и нажмите на >> , а затем сравните своё решение с тем, которое отобразится ниже. При необходимости выясните, в чём состояли ваши ошибки.

Решить уравнение через дискриминант

Квадратное уравнение: x2 + x +  = 0 Решить по формуле

Если коэффициент отрицателен, ставьте перед ним минус при вводе. Можно вводить целые числа и десятичные дроби.

Установить такой виджет себе на сайт

© MathOnline.um-razum.ru

Энциклопедический словарь юного математика

Уже много лет в моей библиотеке есть энциклопедический словарь юного математика (сост.  А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с.).

В нём можно найти сведения об истории развития математической науки, основных направлениях ее приложений на практике, познакомиться с его помощью с основными математическими понятиями.

В словаре рассказывается о выдающихся ученых-математиках, приведены занимательные математические задачи. Предназначен он для школьников среднего и старшего возраста. Но может оказать помощь и учителю в поиске информации к уроку, ведь одна из задач книги - заинтересовать школьников этой древней и важнейшей ныне наукой, помочь в формировании логического мышления, в усвоении учебной программы. 

Теперь можно читать его и в Интернете. Ссылка на энциклопедический словарь http://www.vixri.ru/d/Enciklopedija%20junogo%20matematika.pdf . 

Приятного чтения!

Повторяем таблицу умножения

Перед началом учебного года будет нелишним повторить таблицу умножения. И лучше всего это сделать играючи. Предлагаю воспользоваться тренажёром. Он работает в трёх режимах на трёх уровнях сложности (умножение 6х6, 9х9 и 12х12).
Режим "Multiply" - надо ввести ответ в окошко и нажать Enter.
Режим "Factor" - надо по значению произведения ввести множители, указав соответствующую ячейку таблицы.
Режим "Divide" - надо найти неизвестный множитель. 

Электронные приложения к учебнику алгебры

Согласно стандарта второго поколения (ФГОС) каждый учебник должен  иметь электронное приложение. Очень рада была увидеть на сайте издательства Просвещение ссылки на их свободное скачивание. Доступны для скачивания более 200 электронных приложений. Если вы видите на обложке учебника соответствующий значок — монитор с надписью «PROSV.RU» — значит, приложение доступно для скачивания. 

Я использую учебник алгебры авторов Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Сейчас на сайте есть приложения для 7 и 8 классов. 

Алгебра. 7 класс. Электронное приложение к учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешкова К.И. и др. /1CD/ (В комплекте с учебником) (365.47 МБ)

Алгебра. 8 класс. Электронное приложение к учебнику Макарычева Ю. Н. /1CD/ (В комплекте с учебником) (340.81 МБ)

По указанным ссылкам можно скачать образ диска, затем записать приложение на диск и установить приложение с диска на компьютер. По скриншоту экрана можно создать представления о содержимом и возможностях приложения. 

Полистав приложение, я осталась довольна, т.к. содержимое соответствует моему подходу к обучению. Это подтверждает и то, что некоторое содержимое есть и на моём блоге.

Числовые стихи

Стихосложение связано с математикой. Но и стихи, состоящие только из чисел, тоже интересны. В своей статье "Наше время для стихов" в №13 за 2010 г. "Литературного меридиана" Владимир Монахов   приводит слова поэта Ильи Фонякова: "Традиционная форма – нормальный литературный язык, классическая ритмика, логичность и ясность – лишь наиболее естественная форма выражения поэтической мысли. Она всегда будет существовать и всегда будет преобладать. Но всегда будут существовать и иные формы. Можно всё, даже вообще без слов.

Как-то в Новосибирске меня поразила «поэма» некоего А.Сурнина, составленная из одних цифр:

1, 2
3, 4
5, 6
7, 8
9, 10
11, 12
13

И ведь понятно же о чём! О трагедии «непарности», одиночества, о драме того, кому выпал несчастливый (тринадцатый!) номер. Крик души. А если нет этого крика (писка, шепота, бормотания и т.д.) – тут хоть как извернись, всё равно получится не поэзия, арьергард, уныло перемешивающий сапогами ту пыль, которую подняли идущие впереди тебя."

Интересна статья Сергея Федина "Три, четырнадцать, пятнадцать" на эту тему. 

Александр Дольский написал лирическое стихотворение о дробях.

Однажды 2/12 позвали 3/13:
– Пойдемте, 3/13, пройдемся вечерком.
– Ах, что Вы, 2/12, – смутились 3/13, –
Увидят 5/15, что Вы со мной вдвоём.

– Пусть видят 5/15, – сказали 2/12, –
Мне это, 3/13, поверьте, все равно.
Пусть знают 5/15, – сказали 2/12, –
Что я Вас, 3/13, люблю уже давно.

– И я Вас, 2/12, – сказали 3/13, –
Пройдемте, 2/12, подайте мне пальто.
Ну что нам 5/15, ну что нам 6/16,
Ну что нам 7/17 и даже если 100!

Об истории таблицы умножения и пчелиных сотах

Непостижимый случай

Лотерея знакома каждому, уже в школе на разных вечерах и новогодних праздниках устраивают лотерею, часто даже беспроигрышную. Тоже лото, которое знакомо и детям, и взрослым, даже печенье с запиской - всё это примеры лотереи. 

«Лотерея — организованная игра на счастье, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера» (Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона). А раз выигрыш зависит от случая, то можно рассчитать и вероятность выпадения выигрышной комбинации. Тем не менее в истории лотереи бывают разные курьёзные случаи. В статье Н.Карпушиной "Непостижимый случай" можно познакомиться с некоторыми из них и сопутствующими математическими расчётами.

Справочник-учебник "Проценты"

Для своих учеников при изучении темы "Проценты" создала справочник-учебник для 5-6 классов. Часть материала размещала уже на блоге. Но вот выложила справочник полностью в сеть. На него есть внешняя рецензия с рекомендацией к публикации и размещению на сайте СИПКРО.  Думаю, что он окажется полезным не только посетителям этого сайта, поэтому предлагаю пользоваться им всем заинтересованным посетителям блога. Скриншот части первой страницы  кликабелен.

Ошибки ГИА по математике 2015

Уже известны результаты экзамена по математике в 9 классе. К сожалению, количество двоек по округу большое. В этом году я в очередной раз была экспертом работ учащихся ГИА 2015. Порадовало, что все работы для экспертизы предоставлялись одного варианта, что облегчало работу эксперта и предотвращало появление ошибок внимания, когда приходилось с одного варианта перестраиваться на другой. Хочется отметить, что критерии оценивания были ясными и однозначными. Балл снижался только в случае вычислительной ошибки. Если же ошибка была допущена в знании теории, правил, рассуждений, то работа оценивалась в 0 баллов. И таких работ было много. Часто создавалось ощущение, что ученики писали всё, что могли придумать. И большее число таких умозаключений приходилось на задания по геометрии.

Ошибки, которые чаще допускались при решении геометрических задач:

1. В произвольном треугольнике какая-либо сторона называлась гипотенузой и применялась теорема Пифагора.
2. Вместо произвольной трапеции чертили равнобокую и (или) прямоугольную и применяли соответственно факты для начерченных фигур.
3. В прямоугольном треугольнике вместо высоты, проведённой из прямого угла, проводили медиану и применяли при решении свойство медианы. Кто-то ещё считал прямоугольный треугольник равнобедренным, чем упрощал себе задачу, но был не прав.
4. Применяя признаки подобия, учитывали факт, что сторона двух треугольников общая.
5. Доказывая подобие треугольников не доказывали пропорциональность сторон, а брали как факт.
6. Ошибки в терминологии, например, вместо "пропорциональные стороны" писали "Подобные".
7. Отсутствие обоснований.

При выполнении алгебраических заданий частой ошибкой было построение графика дробно-рациональной функции. Выполняя преобразования, получали прямо пропорциональную зависимость и забывали о недопустимых значениях исходной функции. Отсутствие выколотой точки на графике при всех прочих верных выкладках не позволяло поставить ни одного балла, так как в критериях правильное построение графика было важным условием. 

При решении задачи на движение с остановкой часто время остановки включалось во время движения. 

Но не всё так плохо. Только в своей партии работ я насчитала четыре способа решения задачи (два арифметических и два алгебраических) и четыре способа решения геометрической задачи. 

"Порадовала" фраза из работы: "Расстояние проеденное вторым велосипедистом" (пунктуацию сохранила).

Моим ученикам только через два года предстоит это испытание. Есть ещё время учесть ошибки.

Прямоугольный треугольник

Задание:
Познакомиться с определениями.
Изучить свойства прямоугольного треугольника. (уметь их доказывать).

Сформулировать признаки равенства прямоугольных треугольных треугольников, опираясь на признаки равенства треугольников. Проверить правильность формулировок и доказать их с помощью ресурса "Признаки равенства прямоугольных треугольников".

Сумма углов треугольника. Внешний угол

Скачайте и просмотрите ресурс по ссылке.
Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.
Запишите её доказательство в математической форме.
Сравните доказательство с тем, которое дано в учебнике.
Найдите в учебнике определение нового понятия.
Докажите свойство внешнего угла треугольника.

Линейное уравнение с двумя переменными

Рене Декарт. Интересные факты

1. Знаменитый философ, естествоиспытатель и математик Рене Декарт придумал нумерацию кресел в театрах. Предложенная им система быстро прижилась, и сейчас она никого не удивляет. Но во времена ее появления в парижском высшем обществе произошел настоящий эмоциональный взрыв. Все разговоры сводились к одной теме: замечательному изобретению Декарта. Театралы осаждали короля прошениями наградить ученого за его чудесную идею. Но король ответил: «Да, то, что изобрел Декарт, — прекрасно и достойно награды, но дать ее философу? Нет, это уж слишком!».

Почему же эта система имела такое важное значение в жизни французского общества? Дело в том, что она имела еще один побочный эффект: помогла сократить число дуэлей в Париже, так как в то время в театре из-за мест часто возникали ссоры, превращавшиеся в кровопролитие. А введение системы "ряд-место" и присвоение каждому билету отдельных координат помогло уменьшить число недоразумений. 

2. Великий физиолог Иван Петрович Павлов возле своей лаборатории в поселке Колтуши создал аллею бюстов великих ученых, которые символизировали научные направления, выбранные им. И предтечей своих исследований он считал Рене Декарта, который первым предложил понятие рефлекса и считается основоположником современной рефлексологии (науки о рефлексах). Крупнейшим его открытием в этой области является принцип рефлекторной деятельности. Декарт представил модель организма как работающий механизм. Это и послужило фундаментом для развития психологии. 

3. Долгое время считалось, что Рене Декарт умер от пневмонии. Такова была официальная версия шведского двора: изнурённый работой Декарт простудился и через несколько дней болезни скончался от воспаления лёгких. Однако по другой версии, учёный был отравлен. Уже в то время стали ходить слухи, что смерть Декарта явилась актом мщения ордена иезуитов. Первые предположения о том, что смерть Декарта не случайна, подтверждала странная надпись на могильном камне, выгравированная по настоянию французского посла: "Он заплатил за атаки соперников невиновностью своей жизни". В 80-х годах прошлого века в одном из архивов отыскалось письмо лейб-медика шведской королевы Йоханна ван Вуллена коллеге из Германии Уильяму Писо. Его потомок, публицист Эйк Писо разослал нескольким авторитетным врачам и известным патологоанатомам описание симптомов и хода болезни, предварительно удалив имена и даты. Результат оказался ошеломляющим: Декарт умер от тяжелейшего отравления препаратом мышьяка. tov-iz-biografii-rene-dekarta-234758.html

Подробнее:http://vm.ru/news/2014/02/10/genij-epohi-prosveshcheniya-5-interesnih-faktov-iz-biografii-rene-dekarta-234758.html

Подробнее:http://vm.ru/news/2014/02/10/genij-epohi-prosveshcheniya-5-interesnih-faktov-iz-biografii-rene-dekarta-234758.html

Красота математических формул доказана

Ранее я писала о самых красивых математических формулах, которые были определены путём опроса ряда ведущих математиков мира. 

Группа нейробиологов из Великобритании сумела доказать, что человеческий мозг реагирует на красоту математических формул так же, как на прекрасную музыку или произведения художников. Статья об этом была опубликована в научном журнале Frontiers in Human Neuroscience.

Во время эксперимента профессиональных математиков просили оценить "красоту" той или иной формулы. На основе полученных оценок нейробиологи отсортировали формулы по красоте.

После этого формулы из списка показывали другой группе математиков, одновременно измеряя активность их головного мозга с помощью функциональной магнитно-резонансной томографии (фМРТ).

Подобный метод помогает отследить изменение активности разных участков мозга по увеличению кровоснабжения этого региона.

Опыт показал, что у математиков, которые рассматривали "красивые" формулы, активировались участки в префронтальной коре головного мозга, которая отвечает, кроме всего прочего, за эмоции, чувство красоты и такта.

Проанализировав результаты, ученые сделали вывод, что формулы активизируют те же участки мозга, что и при восприятии красоты других вещей.

И опять самой красивой формулой математики сочли тождество Эйлера  второй вид указан на рисунке вверху. Формула, из которой следует это тождество, была опубликована в работе математика в 1740 году. В тождестве Эйлера соединилась геометрия и алгебра. В нем используются пять основных математических констант и три основные арифметические операции.

Цыплята и числовая прямая

Мы привыкли отсчитывать числа слева направо, то есть слева обычно располагается меньшее число, справа – большее. Возможно, всё дело в школьных уроках математики, на которых происходит знакомство с числовой прямой, растущей слева направо, от бесконечных отрицательных величин к бесконечным положительным. 

Но заложено ли в нас такое «лево-правое» представление о числовом ряде от природы, или же дело в том, что кто-то когда-то изобрёл числовую прямую, и изобретение оказалось настолько удачным, что все им до сих пор пользуются?

Игра "Задачи на проценты"

Правила игры

В игре представлены задачи на вычисление процентов. Выбери правильный ответ и перетащи его мышкой в мигающую область. Перетаскивать шарик нужно удерживая левую кнопку мышки.

За каждый правильный ответ ты будешь получать один балл. За неправильный - у тебя будет отниматься сразу два балла.

Когда ты сможешь быстро и почти без ошибок набирать 25 баллов, твои навыки в изучении процентов уже можно будет оценить как "хорошие". Ну а получение тобою 50 баллов - отличный результат!

Проценты - онлайн игра

Таблица умножения. Тренажёр

Очень удобный тренажёр по таблице умножения. Можно выбрать число и увидеть всю таблицу умножения на это число. Для проверки знания есть два режима: одно число и разные числа. Соответственно будет предъявляться для проверки случаи умножения только на одно число, например, 6, но вразнобой или на разные числа. Тренироваться тоже можно в двух режимах: подбор (надо перетащить карточку с примером на ответ) и ответы (надо ввести в поле для ответа число). Ответы вводятся с помощью клавиатуры игры. Чтобы игра приняла ответ, надо нажать слово "Ввод". Если ответ введён неверно, то программа покажет правильный ответ. 

Ссылка на игру.

Игра на классификацию

На сайте ClassTools.net появился новый шаблон, с помощью которого можно создать игру на классификацию. 

Предлагается 16 слов. Надо распределить их в четыре группы по четыре слова. Для этого достаточно кликнуть по словам одной группы. Если группа определена правильно, то играющий получает 1 очко. Игра заканчивается через 2,5 минуты. После этого (или когда правильно указаны все четыре группы) можно увидеть правильные группы и основания их классификации.

Трудные случаи умножения на пальцах

В предыдущем посте я писала, что сложных случаев умножения немного. Это произведения чисел 6, 7, 8 и 9.  И порой нет-нет да и закрадывается сомнение в правильности вычисления. Но проверить себя можно и не заглядывая в таблицу умножения. А помогут нам пальцы рук.

Умножение на 9. 

рис. 1

Вытяните перед собой кисти рук и мысленно пронумеруйте пальцы слева направо (см. рис.1). Загните палец, номер которого совпадает с числом, умножаемом на 9. Тогда количество пальцев слева от него равно числу десятков результата умножения, а справа - числу единиц.

Например, 7х9. Загибаем седьмой палец. Слева от него шесть пальцев, справа три. Значит в результате умножения 6 десятков и 3 единицы. Получаем число 63. Итак, 7х9=63.

Умножение чисел 6, 7, 8 и 9.

рис. 2

Если надо перемножить указанные числа, то поступают следующим образом. Каждому множителю соответствует рука. Вытягиваем на каждой руке столько пальцев, на сколько множитель превосходит число 5 (см. рис.2). Вытянутые пальцы указывают количество десятков. Их складываем. Согнутые пальцы указывают количество единиц. Их умножаем. Затем полученные результаты складываем. 

Например, 7х8.

Протягиваем на левой руке два пальца (7-5=2), на правой - три пальца (8-5=3). Загнутые пальцы - единицы. Перемножаем единицы. 2х3=6. Складываем десятки. 2дес.+3 дес. = 5 дес.=50. Получаем, 50+6=56. Итак, 7х8=56.

рис. 3

Если кому-то трудно сгибать пальцы, то можно применить немного другой способ. Надо пронумеровать пальцы как показано на рис. 3. Соедините кончики пальцев с номерами, соответствующими множителям. Верхние от них пальцы указывают единицы, нижние - десятки. Остальное всё как и в первом способе.

Но всё-таки надёжнее всего - прочное знание таблицы умножения. К чему советую стремиться всем ученикам. Тогда и изучение других разделов математики будет проходить легче.

Как учить таблицу умножения

Многие приходящие из начальной школы в пятый класс дети, к сожалению, плохо знают таблицу умножения. И основная причина этого в том, что они зубрят её, не понимая её принципа. А ведь память может подвести нас в любой момент, особенно если мы волнуемся. Вспомните, у врача на приеме мы сразу не отвечаем на вопрос о возрасте, а начинаем его вычислять. А ребёнок в школе часто волнуется, поэтому, забыв какой-то случай из таблицы умножения, уже не может восстановить ответ. Так что же делать, чтобы знать таблицу умножения? Ответ один: понимать, что умножение - это многократное сложение, и считать, опираясь на это понимание. В этом случае всегда можно найти ответ, хотя и не так быстро, как хотелось бы. Но со временем эти вычисления будут выполняться подсознательно и очень быстро, при этом знание таблицы умножения будут прочным. 

Эти вычисления окажутся несложными, если ребёнок будет уметь считать группами по 2, 3, 4 и т.д. Поэтому учитель и родители должны добиться прочного умения ребёнка  считать группами. Да и знание переместительного свойства умножения, т.е.  2х3=3х2, позволит уменьшить число запоминаемых случаев со 100 до 55.  

Полезно для быстроты вспоминания использовать мнемонические правила.

Рассмотрим отдельные случаи.

Умножение на единицу. Легко понять и запомнить, что умножая число на единицу, получим это же число. Например, 4х1=4.

Умножение на десять. Этот случай тоже простой, ведь чтобы умножить число на десять достаточно приписать к числу нолик. Например, 7х10=70.

Умножение на два. Чаще всего в этом случае дети как раз и складывают два числа. Например, 8х2=8+8=16.

Умножение на три. Можно умножить на два и прибавить число. Например, 6х3=6х2+6=18.

Умножение на четыре. Можно умножить число на 2, а потом ещё раз умножить произведение  на два. Например, 7х4=7х2х2=14х2=28.

Умножение на пять. Пять - это половина десятка. Значит, можно сначала умножить на 10, а потом разделить на 2. 

Умножить на девять. Можно умножить число на 10 и отнять его от произведения. Например, 8х9=8х10-8=72.

Остались самые сложные случаи умножения: 6х6, 6х7, 6х8, 7х7, 7х8, 8х8. Используем случаи, которые знаем хорошо, и добавляем (или убавляем) необходимое количество чисел. Например, 6х7=6х5+6+6=42,  7х8=7х9-8=56.  Кстати, два из оставшихся случаев запоминаются как стишок:

6х6=36   - шестью шесть - тридцать шесть,

6х8=48  -  шестью восемь - сорок восемь, так же как и 5х5=25 - пятью пять - двадцать пять.

Как видим, не так уж и страшна таблица умножения, как кажется.

Во власти сечений

Как выглядел простейший циркуль? Что такое коники Аполлония? По какой траектории летит пушечное ядро? На что похож параболический циркуль Леонардо да Винчи? Почему живописцы прошлого были неравнодушны к эллипсу? 

Хотите узнать ответы на эти вопросы, тогда прочитайте статью Натальи Карпушиной, опубликованную во втором номере журнала "Наука и жизнь" за 2012 год. Помимо ответов на вопросы вам будут предложены задачи, ответы на которые можно посмотреть здесь. 

Интересны и иллюстрации к обеим статьям. В дополнение к ним предлагаю анимацию, которая наглядно показывает построение эллипса с помощью двух иголок и карандаша.

В 2-х чёрных фокусах — 2 иголки, соединённые нитью. В красной точке — карандаш, который натягивает нить

«ElipseAnimada» участника El Totti - собственная работа. Под лицензией CC BY-SA 3.0 с сайта Викисклада.