воскресенье, 24 июля 2011 г.

Загадка Рамануджана


Рамануджан любил говорить, что формулы ему внушает во сне богиня Намаккаль. Интересно отметить, что действительно он часто, вставая по утрам с кровати, тут же записывал готовые формулы. 
                                              Сешу Айар и Рамачандра Рао

Сриниваза Рамануджан Айенгор родился 22 декабря 1887 г. на юге Индии в селении Эрод. Его детство в основном протекало в маленьком городке Кумбаконам (в 260 км от Мадраса), где его отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Рамануджан принадлежал к касте браминов, но богатство уже давно не было уделом его родственников. Его родители, а мать особенно, были глубоко религиозны. Рамануджан получил воспитание в традициях касты. Детство, проведенное в городе, где каждый камень связан с древней религией, в окружении людей, постоянно ощущающих свою принадлежность к высшей касте, сыграло большую роль в становлении Рамануджана. С 5 лет Рамануджан в школе, к 10 годам он заканчивает начальную школу. Он начинает проявлять незаурядные способности, получает стипендию, обеспечивающую обучение в средней школе за половинную плату. В 14 лет студент из Мадраса дает ему двухтомное руководство по тригонометрии Лони. Вскоре Рамануджан изучил тригонометрию, и студент имел возможность пользоваться его консультацией в решении задач. К этому периоду относятся первые рассказы и легенды. Утверждается, что он сам открыл «формулу Эйлера о синусе и косинусе» и был очень расстроен, найдя эту формулу во втором томе Лони. «Маленький брамин» полагает, что в математике, как и в других науках, следует искать присущую ей «высшую истину», расспрашивает учителей. Старшие дают маловразумительные ссылки на теорему Пифагора, а то и на вычисления с процентами. 
Подробнее познакомиться с биографией удивительного математика и его формулами можно ЗДЕСЬ. 







четверг, 21 июля 2011 г.

Бином Ньютона и треугольник Паскаля


Блез Паскаль (1623— 1662)
Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена  (а+b)n  в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» (а+b)2 и «куба суммы» (а+b)3, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона: 

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:


где k - порядковый номер слагаемого в многочлене.
Напомним, что факториал — произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть 1х2хЗх...хn — обозначается n!, например, 4!=1x2x3x4=24. Запомнить формулу действительно непросто. Но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют an и bn с коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена (a+b),причём сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 сумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах.
Видимо, для того чтобы облегчить труд школяров и студентов, великий французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов — «треугольник Паскаля».
Строится он следующим образом. В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению (a+b)0, поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: (a+b)1=a+b. Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:a2+2ab+b2.

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.
Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:
(a + b)6=a6+6a5b + 15a4b2+20a3b3 + 15a2b4+6ab5+b6.

Всё очень несложно и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще.

Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

среда, 20 июля 2011 г.

Математическую константу положили на музыку

Американский музыкант положил на музыку математическую константу под названием Тау. О необычном подходе к числам пишет New Scientist.
Число Тау в два раза больше числа Пи и приближенно равно 6,283185. Майкл Блейк (Michael Blake) перекладывал Тау на музыку следующим образом: он присвоил нотам от до одной октавы до ноты до следующей октавы номера от 1 до 8. Затем Блейк взял запись числа Тау с точностью до 126 знака после запятой и проиграл ее в соответствии с выбранной кодировкой нот. Далее музыкант аранжировал получившуюся мелодию. Итог его трудов можно послушать тут.
Ранее Блейк положил на музыку само число Пи, однако Тау звучит более гармонично. Послушать мелодию Пи можно здесь. (Источник)

Сама идея сопоставлять цифрам ноты не нова, она упоминается в романе бр. Вайнеров "Визит к Минотавру". 

вторник, 19 июля 2011 г.

Геометрия гармонии


Предложен совершенно новый подход к пониманию музыкальной гармонии, позволяющий описать ее в строгих терминах геометрии.

На рисунке изображена геометрическая интерпретация «семейства» аккордов из четырех нот: чем ближе составляющие их ноты друг к другу по тону, тем более «холодным» цветом они окрашены. Красная сфера вверху соответствует уменьшенному септаккорду, весьма популярному у классических композиторов XIX века. Поблизости от него располагаются аккорды, наиболее часто встречающиеся в западной музыке.