Геометрия гармонии

Предложен совершенно новый подход к пониманию музыкальной гармонии, позволяющий описать ее в строгих терминах геометрии.

На рисунке изображена геометрическая интерпретация «семейства» аккордов из четырех нот: чем ближе составляющие их ноты друг к другу по тону, тем более «холодным» цветом они окрашены. Красная сфера вверху соответствует уменьшенному септаккорду, весьма популярному у классических композиторов XIX века. Поблизости от него располагаются аккорды, наиболее часто встречающиеся в западной музыке.

Связь между музыкой и математикой известная с глубокой древности. Еще Пифагор описывал интервалы, как простые дроби. Знаменитая концепция Musica Universalis, появившаяся в Средние века, связывала с музыкой геометрически точное движение небесных тел – пускай, звуков ее нам не слышно, но гармонии у них схожие.

В этом направлении работают и современные американские ученые Клифтон Каллендер (Clifton Callender), Ян Куинн (Ian Quinn) и Дмитрий Тимошко (Dmitri Tymoczko), предложившие новый взгляд на математический анализ музыки. В своей недавно вышедшей статье это трио математиков и музыкантов сумело сформулировать подход, названный ими «геометрической теорией музыки» и позволяющий перевести абстрактный язык музыкальной гармонии в более конкретные геометрические образы.

Каждую ноту авторы представили в математическом выражении, как логарифм частоты ее звука. На этой основе они описали аккорды, сгруппировав их в «семейства», в зависимости от числа входящих в них нот. Каждое из «семейств» они организовали в соответствии с определенной математической структурой и расположили в комплексном геометрическом пространстве наподобие осей координат в классической Декартовой системе – только в этом случае речь идет о неевклидовых пространствах. Разные группы аккордов «порождали» разные пространства.

Этот метод, по мнению авторов, позволяет глубже проанализировать и сравнить разные направления музыки. По крайней мере, западной музыки, поскольку сама концепция аккорда далеко не универсальна для разных народов и стран.

«“Музыка сфер” – не совсем метафора, - поясняет принстонский профессор Дмитрий Тимошко, - С нашим геометрическим подходом станет возможно создать новые музыкальные инструменты, а возможно, и стили. Но для меня главный результат состоит в том, что можно наглядно увидеть взаимосвязи между самыми разными музыкальными концепциями. Немного преувеличивая, скажем, что вся история музыки предстает, как раскрытие разных симметрий и разных геометрических пространств».

Как пишут ученые в своей статье, суть формального понимания музыки состоит в отбрасывании излишней информации и абстрагировании. К примеру, если взять на пианино аккорд до-ми-соль, его можно назвать «до мажор», независимо от того, в какой конкретно последовательности играть эти ноты, или в какой октаве, или сколько раз каждая нота сыграна. С точки зрения «геометрической теории музыки», эти варианты исполнения «до мажора» сходны, но не идентичны: они симметричны.

Авторы описали 5 видов симметрии, применяя которые можно «переходить» от одного варианта к другому – в рамках неевклидовых пространств их геометрической модели они работают так же, как обычные оптические симметрии в нашем привычном пространстве. Атональность здесь предстает, как нарушение строгих симметричных отношений.

Набор этих симметрий авторы назвали OPTIC, по первым буквам: O – сдвиг на октаву (octave shifts), Р – перестановка (permutation), смена порядка нот в аккорде, Т – перенос (transposition), сдвиг всех нот аккорда на равный тон, I – инверсия (inversion), обращение аккорда, и С – смена кардинальности (cardinality changes), изменения числа вхождения ноты в аккорд. В общем возможны 32 (25) варианта эквивалентности для каждого аккорда.

Применение к аккордам разных типов симметрии и их комбинаций создает все множество разных музыкальных концепций – не только известных человечеству, но и еще не использованных. Так что если вы еще не оставили надежду о карьере музыканта и мечтаете сказать новое слово в этой области – учите математику!

Ну а если ваше призвание – спорт, то здесь тоже будет нелишней ни математика, ни музыка: как утверждают спортивные психологи, музыка действительно стимулирует на рекорды. Читайте: «Вперед и с песней!».

Источник