четверг, 21 июля 2011 г.

Бином Ньютона и треугольник Паскаля


Блез Паскаль (1623— 1662)
Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена  (а+b)n  в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» (а+b)2 и «куба суммы» (а+b)3, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона: 

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:


где k - порядковый номер слагаемого в многочлене.
Напомним, что факториал — произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть 1х2хЗх...хn — обозначается n!, например, 4!=1x2x3x4=24. Запомнить формулу действительно непросто. Но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют an и bn с коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена (a+b),причём сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 сумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах.
Видимо, для того чтобы облегчить труд школяров и студентов, великий французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов — «треугольник Паскаля».
Строится он следующим образом. В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению (a+b)0, поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: (a+b)1=a+b. Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:a2+2ab+b2.

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.
Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:
(a + b)6=a6+6a5b + 15a4b2+20a3b3 + 15a2b4+6ab5+b6.

Всё очень несложно и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще.

Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

2 комментария:

  1. Уважаемые коллеги. Я наткнулся на Ваш сайт случайно и узрел одну ОШИБКУ, очень язвительную...хотя может это и не ошибка вовсе, а всего лишь опечатка. В формуле бинома Ньютона в третьем слагаемом неверная степень числа "а". Там должна быть степень (n-2), а не (n-1)!!! С уважением, Ваш читатель Дж. Н.

    ОтветитьУдалить
  2. Уважаемый читатель Дж.Н.. Спасибо за внимательное чтение и за найденную ошибку, обязательно исправлю. Прошу и дальше читать блог также внимательно.

    ОтветитьУдалить

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...